Entraînement chronométré

1. Fréquence et coût moyen :Fréquence = 140 / 2 000 = 7 %Coût moyen = 420 000 / 140 = 3 000 €
2. Prime pure, que l’on retrouve aussi en divisant la charge par le nombre de contrats :0,07 × 3 000 = 210 € (= 420 000 / 2 000)
3. Prime commerciale hors taxes :210 / (1 − 0,25) = 280 €

Derrière la formule fréquence × coût moyen, il y a le modèle collectif : E[S] = E[N] · E[X]. Pour aller plus loin : la leçon sur la prime pure.

1. On additionne les paiements des trois premières années :400 + 250 + 100 = 750 k€

1. Probabilité de survie à un an :p₆₀ = l₆₁ / l₆₀ = 89 100 / 90 000 = 0,99
2. Le capital n’est versé qu’en cas de vie, dans un an : on le pondère par cette probabilité, puis on l’actualise.Prime = 10 000 × 0,99 / 1,02 ≈ 9 705,88 €

En notation actuarielle, c’est 10 000 · ₁E₆₀, le capital différé, avec ₁E₆₀ = v · p₆₀ ≈ 0,9706.

1. Valeur acquise :10 000 × 1,03⁵ ≈ 11 592,74 €

1. Le prêt est remboursé par 10 annuités constantes payées en fin d’année :10 000 = P × a₁₀ à 5 %
2. Valeur actuelle d’une annuité de 1 sur 10 ans :a₁₀ = (1 − 1,05⁻¹⁰) / 0,05 ≈ 7,7217
3. Annuité :P = 10 000 / 7,7217 ≈ 1 295,05, réponse B
4. À la BA II Plus :N = 10, I/Y = 5, PV = 10 000, FV = 0, CPT PMT → −1 295,05

Le piège : la réponse A correspond à des paiements en début d’année. Notation : rente certaine dans le lexique.

1. Le test (A2:A5>100) renvoie VRAI ou FAUX pour chaque cellule, que la multiplication transforme en 1 ou 0 :VRAI, FAUX, VRAI, FAUX → 1, 0, 1, 0
2. Multiplié par les montants :1 × 120, 0 × 80, 1 × 300, 0 × 50 → 120, 0, 300, 0
3. SOMMEPROD additionne le tout :120 + 300 = 420

Ici, =SOMME.SI(A2:A5;">100") donne le même résultat. L’intérêt de SOMMEPROD : combiner plusieurs conditions, par exemple un montant et une année de survenance.

1. La TVaR à 99,5 % est la moyenne des charges au moins égales à la VaR, ici les cinq pires années :(410 + 380 + 350 + 330 + 320) / 5 = 1 790 / 5 = 358 k€

La TVaR est toujours au moins égale à la VaR : elle tient compte de la gravité des pires années, pas seulement du seuil. Pour voir la queue se former, lancez le simulateur Monte Carlo.

1. Sinistre par sinistre, paiement = min(max(X − 1, 0), 4) :0,6 → 0 2,5 → 1,5 7 → min(6, 4) = 4
2. Total du réassureur :0 + 1,5 + 4 = 5,5 M€
3. Ce que garde l’assureur :0,6 + 1 + (7 − 4) = 4,6 M€

Sur le sinistre de 7 M€, l’assureur garde la priorité de 1 M€ et les 2 M€ au-delà de la tranche. Voir l’excédent de sinistre dans le lexique.

1. Sans dividende, détenir l’action ou un contrat à terme doit coûter la même chose : sinon, il existe un arbitrage.
2. Prix à terme :F = S₀ × e^rT = 100 × e^0,03 = 103,05 €

1. W₄ suit la loi normale de moyenne 0 et de variance 4, donc d’écart-type 2.
2. On centre et on réduit :P(W₄ > 2) = P(Z > 2 / 2) = 1 − N(1) = 15,87 %

1. Placer 1 € pour deux ans doit rapporter autant que le placer un an, puis réinvestir au taux forward :1 / P(0, 2) = (1 / P(0, 1)) × (1 + f)
2. D’où :f = 0,97 / 0,94 − 1 = 3,19 %

1. Quantile de la loi normale à 99 % : z = 2,326.
2. VaR :2,326 × 1,2 % × 10 M€ = 0,279 M€

1. L’exposition se mesure en contrats-années :800 × 1 + 400 × 0,5 = 1 000 contrats-années
2. Fréquence :66 / 1 000 = 6,6 %

Diviser par 1 200 sous-estimerait la fréquence : un contrat présent six mois n’a eu que six mois pour déclarer un sinistre.

1. Les IBNR se mesurent par rapport à la charge déjà déclarée :1 380 − 1 200 = 180 k€
2. Pour mémoire, la provision totale se décompose ainsi :(1 200 − 700) + 180 = 500 + 180 = 680 k€

1. Probabilité de survie de 60 à 63 ans :₃p₆₀ = l₆₃ / l₆₀ = 87 020 / 90 000 ≈ 0,9669

Voir la notation _tp_x dans le lexique.

1. Le taux mensuel équivalent j vérifie (1 + j)¹² = 1,06 :j = 1,06^1/12 − 1 ≈ 0,4868 %

1. Probabilité d’avoir au moins un contrat, par inclusion-exclusion :P(A ∪ H) = 0,30 + 0,20 − 0,10 = 0,40
2. Probabilité de n’en avoir aucun, le complémentaire :P(aucun) = 1 − 0,40 = 0,60, réponse D

Le piège : 0,56 suppose les contrats indépendants. Or 0,30 × 0,20 = 0,06, et non 0,10 : ils ne le sont pas.

1. La comparaison s’applique élément par élément :[True, False, True, False]
2. Pour NumPy, True vaut 1 et False vaut 0. La moyenne vaut donc :(1 + 0 + 1 + 0) / 4 = 0,5

Autrement dit, la moitié des sinistres dépasse 100. C’est une façon rapide de mesurer une fréquence de dépassement, par exemple au-delà d’une franchise.

1. Le quantile d’une loi normale se déduit de celui de la loi centrée réduite :VaR_99,5 % = μ + z_99,5 % × σ = 1 000 + 2,5758 × 100 ≈ 1 257,58 k€

Une charge réelle a souvent une queue plus épaisse qu’une loi normale : la simulation permet alors d’estimer la VaR sans formule. Voir le simulateur Monte Carlo.

1. Priorité et portée, en pourcentage des primes :priorité 70 % × 2 000 = 1 400 k€ portée 50 % × 2 000 = 1 000 k€
2. Paiement du réassureur :min(max(1 780 − 1 400, 0), 1 000) = 380 k€

Avec ce traité, le ratio sinistres à primes conservé par la mutuelle est plafonné à 70 %, tant que la charge reste sous 120 % des primes. Voir le stop loss dans le lexique.

1. Parité call-put :C − P = S₀ − K e^−rT
2. Donc :P = 8 − 100 + 100 × e^−0,02 = 8 − 100 + 98,02 = 6,02 €

1. La solution est S_t = S₀ exp((μ − σ²/2) t + σ W_t).
2. Comme E[exp(σ W_t)] = exp(σ² t / 2), les termes en σ² se compensent :E[S₂] = 100 × e^0,12 = 112,75

1. Dans Vasicek, le taux est gaussien : il peut devenir négatif, ce qui est devenu un atout quand les taux de la zone euro l’ont été.
2. CIR met une racine du taux devant le brownien : la volatilité s’annule près de zéro. Les modèles lognormaux, comme Black-Karasinski, restent positifs par construction.

1. Si les rendements quotidiens sont indépendants, la volatilité croît comme la racine du temps.
2. VaR à dix jours :0,2792 × √10 = 0,883 M€

1. Dans un tarif multiplicatif, chaque caractéristique multiplie la prime de base :400 × 1,25 × 1,60 × 1,10 = 880 €

C’est ce que produit un GLM à lien logarithme : les effets s’additionnent sur le logarithme de la prime, donc se multiplient sur la prime.

1. Facteur cumulé de la première année jusqu’à l’ultime :1,60 × 1,25 × 1,00 = 2,00
2. Part payée la première année :1 / 2,00 = 50 %

1. Fonds en euros :6 000 × 1,025 = 6 150 €
2. Unités de compte :4 000 × 0,90 = 3 600 €
3. Total :6 150 + 3 600 = 9 750 €

Sur le fonds en euros, l’assureur garantit le capital. En unités de compte, c’est l’épargnant qui porte le risque de marché. Voir le lexique.

1. Valeur actuelle d’une perpétuité à terme échu :500 / 0,04 = 12 500 €

1. Loi de Poisson de moyenne 2 :P(N = k) = e⁻² × 2^k / k!
2. Au plus un sinistre, c’est zéro ou un :P(N ≤ 1) = e⁻² × (1 + 2) = 3e⁻² ≈ 0,406, réponse C

Bien lire at most (au plus), at least (au moins) et more than (strictement plus de) fait gagner des points faciles.

1. Le 4^e argument, laissé vide, est la valeur à renvoyer si rien n’est trouvé. Le 5^e, −1, est le mode de correspondance : exacte, sinon la valeur immédiatement inférieure.
2. 45 n’est pas dans A2:A6. La valeur immédiatement inférieure est 30, en ligne 4 :B4 = 1,00

Sans le −1, RECHERCHEX cherche une correspondance exacte et renvoie #N/A. Avec RECHERCHEV, l’équivalent est le dernier argument VRAI, qui exige une colonne triée par ordre croissant.

1. Fonction de répartition :P(L ≤ 0) = 90 % P(L ≤ 100) = 96 % P(L ≤ 500) = 99 %
2. Premier seuil où l’on atteint 95 % :VaR_95 % = 100

1. Part au-delà du plein : 2 − 0,5 = 1,5 M€, sous la capacité de 4,5 M€.
2. Taux de cession :1,5 / 2 = 75 %

1. Probabilité risque-neutre de hausse :q = (1 + r − d) / (u − d) = (1,05 − 0,9) / (1,2 − 0,9) = 0,5
2. Paiements : 20 € en cas de hausse, 0 en cas de baisse.C = (0,5 × 20 + 0,5 × 0) / 1,05 = 9,52 €

1. Avec un taux nul, on cherche q tel que l’espérance du prix futur égale le prix actuel :60 q + 45 (1 − q) = 50
2. D’où :q = (50 − 45) / (60 − 45) = 1/3 ≈ 33,33 %

1. Espérance dans le modèle de Vasicek :E[r_t] = r₀ e^−at + b (1 − e^−at)
2. Avec a = 0,5 et t = 2, e⁻¹ = 0,3679 :1 % × 0,3679 + 3 % × 0,6321 = 2,26 %

1. CAPM :E[R] = r_f + β (E[R_M] − r_f) = 3 % + 1,2 × 5 % = 9 %

1. Probabilité de n’avoir aucun sinistre :P(N = 0) = e^−0,1 ≈ 0,9048
2. Probabilité d’en avoir au moins un :1 − 0,9048 ≈ 9,52 %

1. Charge ultime attendue :5 000 × 72 % = 3 600 k€
2. Provision :3 600 − 2 100 = 1 500 k€

Simple et stable, cette méthode ignore ce que dit le triangle : on l’utilise surtout pour l’année la plus récente.

1. Décès entre 63 et 64 ans :d₆₃ = 87 020 − 85 830 = 1 190
2. q₆₃ = 1 190 / 87 020 ≈ 1,3675 %

1. Approximation par la duration modifiée :ΔP / P ≈ −D_mod × Δy = −7,5 × 0,004 = −3 %

Pour une forte variation de taux, la convexité améliore l’approximation. Voir la leçon sur la duration.

1. Covariance, à partir de la corrélation et des écarts-types :Cov(X, Y) = ρ × σ_X × σ_Y = 0,5 × 20 × 30 = 300
2. Variance de la somme :Var(X + Y) = 400 + 900 + 2 × 300 = 1 900, réponse D

La même formule sert en Solvabilité 2 pour agréger des risques corrélés : voir l’exercice agréger deux SCR corrélés.

1. SOMME.SI.ENS additionne la plage C2:C6 pour les lignes qui remplissent tous les critères : année 2025 et garantie Auto.Lignes 4 et 6 : 2 500 + 700 = 3 200

Contrairement à SOMME.SI, la plage à additionner vient en premier. Les critères s’ajoutent ensuite par paires : plage, puis valeur.

1. Espérance :0,9 × 0 + 0,06 × 100 + 0,03 × 500 + 0,01 × 1 000 = 31

La perte moyenne sert à tarifer ; la VaR et la TVaR servent à dimensionner le capital.

1. Tranche « 3 M€ XS 2 M€ » :min(7,5 − 2 ; 3) = 3 M€
2. Tranche « 5 M€ XS 5 M€ » :min(7,5 − 5 ; 5) = 2,5 M€
3. Cédante :7,5 − 3 − 2,5 = 2 M€

1. Le delta d’un call européen sans dividende vaut N(d₁) = 0,5987.
2. Position à couvrir :1 000 × 0,5987 = 598,7 actions, soit environ 599

La couverture doit être réajustée quand le cours bouge, car le delta change : c’est le rôle du gamma.

1. Prix de marché du risque :λ = (μ − r) / σ = (0,08 − 0,03) / 0,25 = 0,2
2. Avec Girsanov, W̃_t = W_t + λ t est un brownien sous la probabilité risque-neutre, et la dérive de l’action devient r.

1. Condition de Feller :2ab ≥ σ²
2. Ici :σ ≤ √(2 × 0,3 × 0,04) = √0,024 = 15,49 %

1. Ratio de Sharpe :(R − r_f) / σ = (12 % − 3 %) / 18 % = 0,5

1. Coefficient après trois ans :1,00 × 0,95 × 0,95 × 1,25 = 1,128125
2. Prime :600 × 1,128125 ≈ 676,88 €

Le système réel français arrondit le coefficient à chaque étape et prévoit d’autres règles. Ici, le principe suffit.

1. Facteur cumulé jusqu’à l’ultime :1,80 × 1,20 × 1,05 × 1,00 = 2,268
2. Charge ultime :500 × 2,268 = 1 134 k€

1. APE = primes annuelles + 10 % des primes uniques et des transferts.
2. Ici :0,8 + 10 % × 5 = 1,3 M€

1. Taux trimestriel 0,9 %, capitalisé 4 fois :(1 + 0,036 / 4)⁴ − 1 = 1,009⁴ − 1 ≈ 3,649 %

1. Avec des dépôts en fin d’année, on aurait une rente à terme échu :1 000 × s₁₀ = 1 000 × (1,04¹⁰ − 1) / 0,04 ≈ 12 006,11
2. Les dépôts ont lieu en début d’année : chacun capitalise un an de plus.12 006,11 × 1,04 ≈ 12 486,35, réponse D
3. À la BA II Plus, en mode BGN :N = 10, I/Y = 4, PV = 0, PMT = −1 000, CPT FV → 12 486,35

Notation : valeur acquise d’une rente dans le lexique.

1. cumsum renvoie les sommes cumulées :[400, 400 + 250, 650 + 100, 750 + 50] = [400, 650, 750, 800]
2. Les indices commencent à 0 :cumules[2] / cumules[1] = 750 / 650 ≈ 1,1538

C’est le facteur individuel de la 2^e à la 3^e année de développement. Chain Ladder pondère ensuite ces facteurs sur toutes les années de survenance.

1. La perte dans le scénario de choc :50 × 39 % = 19,5 M€

Le SCR est la baisse des fonds propres dans le choc. Si les engagements absorbent une partie de la perte, par exemple par la participation aux bénéfices, il est plus faible. L’ajustement symétrique fait varier le choc selon la position des marchés dans le cycle. Voir le SCR dans le lexique.

1. Priorité : 75 % × 4 = 3 M€ ; portée : 30 % × 4 = 1,2 M€.
2. Paiement :min(3,6 − 3 ; 1,2) = 0,6 M€

1. Moyenne des cours constatés :(104 + 98 + 110) / 3 = 104 €
2. Paiement :max(104 − 100, 0) = 4 €Le call européen paierait 110 − 100 = 10 €.

Parce que la moyenne varie moins qu’un cours isolé, une option asiatique coûte moins cher que l’option européenne correspondante. Son prix n’a pas de formule fermée dans le cas arithmétique : on le calcule par Monte Carlo.

1. Schéma d’Euler :X₁ = X₀ + a(X₀) Δt + b(X₀) ΔW
2. Ici :1 + (−2 × 1) × 0,1 + 0,5 × 0,3 = 1 − 0,2 + 0,15 = 0,95

1. La variance a la même dynamique moyenne qu’un taux de Vasicek :E[v_t] = v₀ e^−κt + θ (1 − e^−κt)
2. Ici :0,04 × 0,1353 + 0,09 × 0,8647 = 0,0832
3. Volatilité correspondante :√0,0832 = 28,85 %

1. Variation de prix ≈ − duration modifiée × valeur × variation de taux.
2. DV01 :6,5 × 9 800 000 × 0,0001 = 6 370 €

1. Relativité :12 % / 8 % = 1,5

Ce rapport brut mélange parfois plusieurs effets : un GLM les sépare. Voir la leçon sur la tarification.

1. Facteur de développement de 1 à 2, sur les années qui ont les deux colonnes :f₁ = (150 + 174) / (100 + 120) = 324 / 220 ≈ 1,4727
2. Facteur de 2 à 3, seule 2023 est connue :f₂ = 165 / 150 = 1,10
3. Charges ultimes :2024 : 174 × 1,10 = 191,42025 : 130 × 1,4727 × 1,10 = 210,6
4. Provision = ultime − déjà payé :(191,4 − 174) + (210,6 − 130) = 17,4 + 80,6 = 98,0 k€

La leçon Chain Ladder pas à pas reprend la méthode sur un triangle plus grand, avec ses limites. Notation : facteur de développement f_j.

1. NBV stochastique :(900 + 700 + 400 − 200) / 4 = 450 k€
2. TVOG :650 − 450 = 200 k€

1. i = e^δ − 1 = e^0,05 − 1 ≈ 5,127 %

1. Tous les comités :C(10, 3) = 120
2. Comités sans souscripteur :C(6, 3) = 20
3. Par complémentaire :120 − 20 = 100, réponse D

« At least one » appelle presque toujours le passage au complémentaire.

1. EQUIV("Santé";A2:A5;0) cherche une correspondance exacte :position 3
2. INDEX(B2:B5;3) :1 150

INDEX et EQUIV font la même chose que RECHERCHEX, dans toutes les versions d’Excel.

1. Erreur standard :15 / √10 000 = 0,15 €
2. Intervalle à 95 % :1,96 × 0,15 = 0,294 €

1. Pour 100 de primes cédées, le réassureur paie 68 de sinistres et 2 de frais, et veut garder 5.
2. Commission possible :100 − 68 − 2 − 5 = 25 %

1. On retire du prix au comptant la valeur actuelle du dividende, que l’acheteur à terme ne touchera pas :50 − 1 × e^{−0,04 × 0,5} = 50 − 0,9802 = 49,0198 €
2. On capitalise sur un an :49,0198 × e^0,04 = 51,02 €

1. On décompose en accroissements indépendants :2W₁ − W₃ = 2W₁ − W₁ − (W₃ − W₁) = W₁ − (W₃ − W₁)
2. Variances : Var(W₁) = 1 et Var(W₃ − W₁) = 3 − 1 = 2.Var = 1 + 2 = 3

1. Variance :0,01² × (1 − e⁻²) / (2 × 0,5) = 0,0001 × 0,8647, soit un écart-type de 0,930 %
2. Probabilité :N(−2,264 / 0,930) = N(−2,435) = 0,74 %

Le modèle de Vasicek autorise les taux négatifs, contrairement au modèle CIR.

1. Perte attendue :EL = PD × LGD × EAD = 2 % × 45 % × 5 000 000 = 45 000 €

1. S/P = 6,3 / 9 = 70 %

Avec 25 % de frais, ce portefeuille dégagerait 5 % de marge technique.

1. Facteurs de développement :f₁ = (300 + 341) / (200 + 220) = 641 / 420 ≈ 1,5262f₂ = 330 / 300 = 1,10
2. Charges ultimes :2024 : 341 × 1,10 = 375,12025 : 250 × 1,5262 × 1,10 ≈ 419,7
3. Provision :(375,1 − 341) + (419,7 − 250) = 34,1 + 169,7 ≈ 203,8 k€

1. Nombre de décès entre 62 et 63 ans dans la table :d₆₂ = l₆₂ − l₆₃ = 88 110 − 87 020 = 1 090
2. Rapporté aux 90 000 personnes de 60 ans :1 090 / 90 000 ≈ 1,211 %

1. Coupon couru :3 × 73 / 365 = 0,60
2. Prix plein coupon :98,50 + 0,60 = 99,10

Sur le marché, les obligations cotent pied de coupon : l’acheteur verse en plus au vendeur la part du coupon déjà courue.

1. Loi binomiale de paramètres 10 et 0,1 :P(N = 2) = C(10, 2) × 0,1² × 0,9⁸
2. 45 × 0,01 × 0,4305 ≈ 0,1937, réponse B

1. Le test sinistre > franchise est faux (800 < 1 000).
2. Le code exécute la branche Else :paiement = 0

C’est la fonction max(X − d, 0) du lexique, écrite avec une condition. Voir la franchise.

1. Pour comparaison, la VaR à 99 % :100 + 20 × 2,3263 ≈ 146,53 M€
2. La TVaR, moyenne des pertes au-delà de la VaR :100 + 20 × 0,02665 / 0,01 = 100 + 53,30 = 153,30 M€

L’écart entre TVaR et VaR mesure la gravité de la queue. Voir la TVaR dans le lexique.

1. Primes et sinistres cédés, 40 % :primes cédées 4 M€ sinistres cédés 2,8 M€
2. Commission reçue :25 % × 4 = 1 M€
3. Résultat après réassurance :(10 − 4) − (7 − 2,8) + 1 = 6 − 4,2 + 1 = 2,8 M€

La quote-part réduit un peu le résultat, de 3 à 2,8 M€, mais aussi sa volatilité : la cédante ne garde que 60 % de chaque mauvaise surprise. Voir la quote-part dans le lexique.

1. Ratio de couverture optimal :h* = ρ × σ_S / σ_F = 0,9 × 2 % / 2,5 % = 0,72
2. Nombre de contrats :0,72 × 2 000 000 / 250 000 = 5,76, soit 6 contrats

1. Une martingale a une espérance conditionnelle égale à sa valeur présente : en particulier, son espérance est constante.
2. E[W_t²] = t augmente avec le temps : W_t² n’est pas une martingale. En retirant t, on obtient une martingale.
3. e^W_t a pour espérance e^t/2 : il faudrait e^{W_t − t/2}. W_t + t a une dérive, et t × W_t aussi d’après la formule d’Itô.

1. Pour que le cours actualisé reste une martingale, on retire l’effet moyen des sauts, λk par an.
2. Dérive :r − λk = 3 % − 0,5 × (−10 %) = 8 %

1. Une VaR à 99 % est dépassée en moyenne un jour sur cent.
2. Exceptions attendues :1 % × 250 = 2,5

Au-delà de 4 exceptions par an, le modèle commence à être suspect, et les régulateurs bancaires alourdissent alors le capital exigé.

1. Paiement de l’assureur pour chaque montant de sinistre :500 € → 0 € 2 000 € → 1 000 € 10 000 € → 9 000 €
2. Paiement moyen par sinistre :0,6 × 0 + 0,3 × 1 000 + 0,1 × 9 000 = 1 200 €
3. Prime pure :0,08 × 1 200 = 96 €

Sans franchise, la prime pure vaudrait 8 % × 1 900 = 152 €. La franchise la fait baisser de 56 €, moins que 8 % × 1 000 = 80 € : sur un sinistre de 500 €, l’assureur n’économise que 500 €. Voir la franchise dans le lexique.

1. Charge attendue a priori :2 000 × 70 % = 1 400 k€
2. Part encore à développer :1 − 1 / 1,25 = 20 %
3. Provision et charge ultime :1 400 × 20 % = 280 k€ puis 900 + 280 = 1 180 k€

Pour une année récente, peu développée, Bornhuetter-Ferguson est plus stable que Chain Ladder, qui multiplie un petit montant observé par un grand facteur.

1. Décès de la première et de la deuxième année :d₆₀ = 90 000 − 89 100 = 900 d₆₁ = 89 100 − 88 110 = 990
2. Chaque capital est pondéré par la probabilité de décès de l’année et actualisé jusqu’à son versement :A = (900 / 1,02 + 990 / 1,02²) / 90 000 ≈ 0,020377
3. Prime unique :100 000 × 0,020377 ≈ 2 037,68 €

En notation actuarielle : 100 000 · A¹_60:2. Voir la temporaire décès.

1. 1 + r = 1,05 / 1,02 donc r ≈ 2,94 %

1. La médiane m vérifie F(m) = 0,5 :1 − e^−m/1 000 = 0,5
2. m = 1 000 × ln 2 ≈ 693,15, réponse B

1. Le masque sélectionne les éléments qui vérifient la condition :sinistres[sinistres > 100] → [120, 300]
2. 120 + 300 = 420

1. Sous la racine :100² + 60² + 2 × 0,25 × 100 × 60 = 10 000 + 3 600 + 3 000 = 16 600
2. SCR agrégé :√16 600 ≈ 128,84 M€
3. Bénéfice de diversification :100 + 60 − 128,84 = 31,16 M€

C’est la formule de la variance d’une somme, appliquée à des capitaux : voir la variance d’une somme et le SCR dans le lexique.

1. Coût total de la tranche sur cinq ans :0,8 + 0 + 2,0 + 0,3 + 1,4 = 4,5 M€
2. Rapporté à l’assiette des cinq ans :4,5 / (5 × 50) = 1,8 %

Le burning cost n’est qu’un point de départ : le réassureur ajoute ses frais, le coût de son capital et une marge pour les sinistres extrêmes qu’un historique de cinq ans n’a pas vus. Voir le burning cost dans le lexique.

1. La jambe variable vaut 1 − P(0, 3) par euro de nominal. La jambe fixe vaut s × (P(0, 1) + P(0, 2) + P(0, 3)).
2. Taux qui égalise les deux jambes :s = (1 − 0,91) / (0,97 + 0,94 + 0,91) = 0,09 / 2,82 = 3,19 %

1. La médiane de S₂ correspond à la médiane de W₂, qui vaut 0.
2. Médiane :100 × exp((0,06 − 0,2²/2) × 2) = 100 × e^0,08 = 108,33

1. Rendement exigé selon le CAPM :3 % + 1,2 × (8 % − 3 %) = 9 %
2. Alpha de Jensen :11 % − 9 % = 2 %Le gérant a battu de 2 points le rendement qu’on pouvait attendre de son risque de marché.

1. Les chargements (15 % + 10 % = 25 %) sont exprimés en part de la prime hors taxes :Prime HT = 300 / (1 − 0,25) = 400 €
2. Les taxes s’appliquent en dernier :Prime TTC = 400 × 1,09 = 436 €

1. Facteurs de développement :f₁ = (800 + 900 + 950) / (500 + 550 + 600) = 2 650 / 1 650 ≈ 1,6061f₂ = (880 + 990) / (800 + 900) = 1 870 / 1 700 = 1,10f₃ = 900 / 880 ≈ 1,0227
2. Charge ultime 2025 :650 × 1,6061 × 1,10 × 1,0227 ≈ 1 174,4 k€
3. Provision 2025 :1 174,4 − 650 ≈ 524,4 k€

L’année la plus récente porte l’essentiel de la provision alors qu’elle repose sur un seul montant observé : c’est là que Chain Ladder est le plus fragile.

1. Probabilités d’être en vie à chaque versement :1 p₆₀ = 89 100 / 90 000 = 0,99 ₂p₆₀ = 88 110 / 90 000 = 0,979
2. Valeur actuelle probable :1 000 × (1 + 0,99 / 1,02 + 0,979 / 1,02²) ≈ 2 911,57 €

1. Flux : 5 dans un an, 105 dans deux ans. Prix au taux de 5 % :P = 5 / 1,05 + 105 / 1,05² = 4,7619 + 95,2381 = 100,00
2. Duration de Macaulay, chaque date pondérée par la valeur actuelle de son flux :D = (1 × 4,7619 + 2 × 95,2381) / 100 ≈ 1,9524 an
3. En bonus, la duration modifiée :D_mod = 1,9524 / 1,05 ≈ 1,8594

Quand le coupon égale le taux du marché, l’obligation cote au pair. Si le taux monte d’un point, son prix baisse d’environ 1,86 %. Voir duration et duration modifiée dans le lexique.

1. Probabilité de déclarer un sinistre, par la formule des probabilités totales :P(S) = 0,7 × 0,05 + 0,3 × 0,20 = 0,035 + 0,06 = 0,095
2. Formule de Bayes :P(H | S) = P(H) × P(S | H) / P(S) = 0,06 / 0,095 ≈ 0,632, réponse E

Un seul sinistre fait passer la probabilité d’être un haut risque de 30 % à 63 % : c’est l’intuition derrière les systèmes bonus-malus.

1. VPM(taux ; nombre de périodes ; valeur actuelle) : le taux est mensuel, 5 % / 12, sur 60 périodes.20 000 × (0,05 / 12) / (1 − (1 + 0,05 / 12)⁻⁶⁰) ≈ 377,42 €

La valeur actuelle est saisie en négatif : Excel suit la convention des flux de trésorerie, comme la BA II Plus. Ce que l’on reçoit est positif, ce que l’on verse est négatif.

1. Erreur standard de la moyenne de n tirages indépendants :σ / √n = 900 / √10 000 = 9 k€
2. Pour une erreur de 3 k€ :900 / √n = 3 donc n = (900 / 3)² = 90 000

Gagner un chiffre de précision coûte cent fois plus de simulations. Pour une VaR extrême, c’est encore pire : elle ne repose que sur les quelques années de la queue.

1. Quote-part à 50 % :part cédée 1,5 M€ part conservée 1,5 M€
2. Excédent de sinistre sur la part conservée :min(max(1,5 − 0,5, 0), 1) = 1 M€
3. Charge nette de la cédante :1,5 − 1 = 0,5 M€

Bilan : 1,5 M€ pour le réassureur en quote-part, 1 M€ pour celui de l’excédent, 0,5 M€ pour la cédante. L’ordre d’application se lit dans les traités : ici, l’excédent couvre la rétention de la quote-part.

1. Valeur de la jambe fixe reçue :10 × 4 % × (0,97 + 0,94 + 0,91) = 1,128 M€
2. Valeur de la jambe variable payée :10 × (1 − 0,91) = 0,9 M€
3. Valeur du swap pour la banque :1,128 − 0,9 = 0,228 M€

Autre lecture : la banque reçoit 4 % au lieu du taux de swap de 3,19 %, soit 0,81 % de plus par an, actualisés : 10 × 0,81 % × 2,82 ≈ 0,228 M€.

1. Prix à terme d’équilibre :100 × e^0,03 = 103,05 €
2. Le prix proposé est trop élevé : on emprunte 100 €, on achète l’action et on la vend à terme 105 €.
3. À l’échéance :105 − 103,05 = 1,95 € par action, sans risque

C’est exactement ce qu’interdit l’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage.

1. Pour des lois normales, les VaR se combinent comme des écarts-types :VaR_P = √(VaR₁² + VaR₂² + 2 ρ VaR₁ VaR₂)
2. Ici :√(9 + 16 + 12) = √37 = 6,08 M$L’effet de diversification vaut 7 − 6,08 = 0,92 M$.

1. Facteur de crédibilité :Z = 4 / (4 + 6) = 0,4
2. Prime de crédibilité, moyenne pondérée de l’expérience et du marché :0,4 × 900 + 0,6 × 600 = 360 + 360 = 720 €

Plus l’historique est long, plus Z se rapproche de 1 et plus la prime suit l’expérience propre de l’entreprise.

1. Cumul attendu après trois années :800 × 1,15 = 920 k€
2. Paiement de l’année :920 − 800 = 120 k€

Prévoir les paiements année par année donne la cadence de liquidation, utile pour actualiser la provision.

1. Probabilité d’être en vie à 65 ans :₅p₆₀ = 84 520 / 90 000 ≈ 0,9391
2. Actualisation sur 5 ans :10 000 × 0,9391 / 1,02⁵ ≈ 8 505,82 €

C’est 10 000 · ₅E₆₀, le capital différé.

1. Annuité :10 000 / a₅ = 10 000 / 4,3295 ≈ 2 309,75 €
2. Intérêts de la première année :10 000 × 5 % = 500 €
3. Capital remboursé, puis capital restant dû :2 309,75 − 500 = 1 809,75 € puis 10 000 − 1 809,75 = 8 190,25 €

1. Paiement de l’assureur pour un sinistre X :max(X − 500, 0)
2. Absence de mémoire : sachant X > 500, l’excédent X − 500 suit encore une loi exponentielle de moyenne 1 000.E[max(X − 500, 0)] = P(X > 500) × 1 000 = e^−0,5 × 1 000 ≈ 606,53, réponse C

Par sinistre (per loss) ou par paiement (per payment) : c’est la distinction la plus testée des applications à l’assurance. Par sinistre, on compte aussi les sinistres qui ne coûtent rien à l’assureur. Voir la franchise dans le lexique.

1. La boucle additionne cinq termes :1 000 / 1,02 + 1 000 / 1,02² + … + 1 000 / 1,02⁵
2. C’est la valeur actuelle de cinq versements de 1 000 € en fin d’année, au taux de 2 % :1 000 × a₅ = 1 000 × (1 − 1,02⁻⁵) / 0,02 ≈ 4 713,46

En VBA, l’opérateur ^ est prioritaire sur la division : 1000 / 1.02 ^ i se lit bien 1 000 / (1,02ⁱ). Une fonction personnalisée peut généraliser ce calcul à n’importe quelle durée.

1. Séparément :2 × 2,5758 × 100 = 515,16
2. Ensemble, l’écart-type vaut √(100² + 100²) ≈ 141,42 :2,5758 × 141,42 ≈ 364,27
3. Bénéfice de diversification :515,16 − 364,27 ≈ 150,89

1. Part cédée, plafonnée à la capacité :min(6 − 0,5 ; 4,5) = 4,5 M€, soit 75 %
2. Sinistre partagé selon ce taux :2 × 75 % = 1,5 M€

La cédante garde 1,5 M€ sur ce risque, dont 1 M€ au-delà de son plein : elle a intérêt à placer ce surplus en facultative.

1. d₁ et d₂ :d₁ = (ln(100/100) + (0,03 + 0,2²/2) × 1) / 0,2 = 0,25 et d₂ = d₁ − 0,2 = 0,05
2. Formule de Black-Scholes :C = S N(d₁) − K e^−rT N(d₂) = 59,87 − 97,04 × 0,5199 = 59,87 − 50,45 ≈ 9,42 €, soit 9,41 € avec les valeurs non arrondies de N(d₁) et N(d₂)

1. Formule d’Itô pour f(x) = x⁴ :d(W_t⁴) = 4 W_t³ dW_t + 6 W_t² dt
2. Le terme en dW a une espérance nulle, et E[W_s²] = s :E[W_t⁴] = ∫₀^t 6 s ds = 3t²
3. Pour t = 2 :E[W₂⁴] = 3 × 4 = 12

1. Spread de crédit :5,5 % − 3,5 % = 2 %
2. Le spread rémunère la perte attendue, PD × taux de perte :PD ≈ 2 % / 60 % = 3,33 %

Cette probabilité est risque-neutre : le spread contient aussi une prime de risque et de liquidité, donc elle surestime la probabilité de défaut réelle.

1. Sinistres écrêtés :2 000, 3 000, 4 000, 5 000 et 20 000 €
2. Coût moyen écrêté :34 000 / 5 = 6 800 €

L’excédent, 66 000 €, n’est pas perdu : il est mutualisé sur tout le portefeuille, sous forme de surprime pour sinistres graves.

1. Chain Ladder rapporte les sommes de colonnes :(1 500 + 400) / (1 000 + 200) = 1 900 / 1 200 ≈ 1,5833

La pondération protège contre les petites années atypiques : ici, l’année à 200 k€ a doublé, mais elle pèse cinq fois moins que l’autre.

1. L’espérance de vie temporaire, en années entières, additionne les probabilités d’être en vie à chaque anniversaire :(89 100 + 88 110 + 87 020 + 85 830 + 84 520) / 90 000
2. 434 580 / 90 000 ≈ 4,8287 ans

1. On actualise chaque flux au taux du marché :4 / 1,05 + 4 / 1,05² + 104 / 1,05³ = 3,81 + 3,63 + 89,84 ≈ 97,28

1. Moyenne et écart-type de la somme S :E[S] = 100 × 500 = 50 000 σ_S = 1 000 × √100 = 10 000
2. Approximation normale :P(S > 70 000) ≈ P(Z > (70 000 − 50 000) / 10 000) = P(Z > 2) ≈ 0,0228, réponse B

1. groupby additionne les colonnes pour chaque zone :Zone A : 0 + 2 + 1 = 3 sinistres ; 1 + 1 + 0,5 = 2,5 contrats-années
2. Fréquence de la zone A :3 / 2,5 = 1,2

On additionne d’abord, on divise ensuite. Faire la moyenne des fréquences contrat par contrat donnerait trop de poids aux contrats courts. Voir l’exposition dans le lexique.

1. Le logarithme conserve l’ordre : le quantile de X est l’exponentielle du quantile de ln X.
2. VaR = exp(10 + 2,5758 × 0,5) = exp(11,2879) ≈ 79 850 €

1. Portée consommée :5 − 2 = 3 M€
2. Prime de reconstitution :0,8 × 3 / 4 × 50 % = 0,3 M€

1. Probabilité risque-neutre :q = (1,02 − 0,9) / (1,1 − 0,9) = 0,6
2. À l’échéance : 121 € (put 0), 99 € (put 1), 81 € (put 19).
3. Nœud haut (110 €) : continuation (0,6 × 0 + 0,4 × 1) / 1,02 = 0,39 €, exercice 0 : on garde 0,39 €.
4. Nœud bas (90 €) : continuation (0,6 × 1 + 0,4 × 19) / 1,02 = 8,04 €, exercice 10 € : on exerce.
5. Origine :(0,6 × 0,39 + 0,4 × 10) / 1,02 = 4,15 €

Le put européen vaut 3,38 € : le droit d’exercer avant l’échéance vaut ici 0,77 €.

1. Si le modèle est juste, on attend 1 % × 250 = 2,5 exceptions.
2. Les zones de Bâle :verte : 0 à 4 · orange : 5 à 9 · rouge : 10 et plusAvec 8 exceptions, le modèle est en zone orange, réponse B.

Compter les exceptions ne dit rien de leur taille : c’est pour cela que l’on teste aussi l’expected shortfall et toute la distribution des pertes.

1. Prime pure du profil :300 × 1,2 × 0,9 = 324 €
2. Prime hors taxes :324 / (1 − 0,20) = 405 €
3. Prime TTC :405 × 1,09 = 441,45 €

1. Ce que coûtent désormais ces sinistres : 180 payés + 90 restants = 270 k€.
2. Boni :300 − 270 = 30 k€

Des bonis réguliers signalent un provisionnement prudent ; des malis répétés, une sous-estimation.

1. Probabilités d’être en vie à 61, 62 et 63 ans :0,99 0,979 0,966889
2. Valeur actuelle probable :1 000 × (0,99 / 1,02 + 0,979 / 1,02² + 0,966889 / 1,02³) ≈ 2 822,69 €

1. Valeur actuelle des trois flux :400 × (1 − 1,08⁻³) / 0,08 ≈ 1 030,84 €
2. VAN :1 030,84 − 1 000 ≈ 30,84 €

1. Coupon annuel : 6 % × 1 000 = 60. Prix au rendement de 5 % :P = 60 × a₁₀ + 1 000 × v¹⁰ = 60 × 7,7217 + 613,91 ≈ 1 077,22, réponse C
2. À la BA II Plus :N = 10, I/Y = 5, PMT = 60, FV = 1 000, CPT PV → −1 077,22

Coupon supérieur au rendement : l’obligation cote au-dessus du pair (premium bond). Voir le prix d’une obligation dans le lexique.

1. pivot_table range chaque paiement dans la case (survenance, développement) et additionne :case (2024, 2) : 40 + 30 = 70

On obtient un triangle de paiements incrémentaux ; cumsum(axis=1) le transforme en triangle cumulé.

1. Première tempête :22 − 10 = 12 M€
2. Seconde tempête : 26 − 10 = 16 M€ demandés, mais il ne reste que 20 − 12 = 8 M€ de portée.
3. Total :12 + 8 = 20 M€

1. Stock d’actifs liquides de haute qualité :120 + (1 − 15 %) × 40 = 154 M$Les actifs de niveau 2 en représentent 22 %, sous le plafond de 40 %.
2. Ratio de liquidité à 30 jours :LCR = 154 / 140 = 110 %

1. Fréquence annuelle d’un contrat urbain :exp(−3,0 + 0,47) = e^−2,53 ≈ 0,0797
2. Sur six mois :0,5 × 0,0797 ≈ 0,0398

Le coefficient urbain multiplie la fréquence par e^0,47 ≈ 1,60.

1. Minimum à redistribuer :85 % × 4 000 = 3 400 €
2. Déjà crédité au taux technique :1 % × 100 000 = 1 000 €
3. Participation complémentaire :3 400 − 1 000 = 2 400 €

Règle simplifiée : le calcul réel passe par un compte de participation qui intègre aussi le résultat technique. Voir la participation aux bénéfices.

1. Taux d’intérêt effectif annuel :1 + i = (1 + 0,06 / 12)¹² = 1,005¹² ≈ 1,061678
2. Taux d’escompte effectif :d = i / (1 + i) = 0,061678 / 1,061678 ≈ 5,81 %, réponse B
3. À la BA II Plus, avec la fonction ICONV :NOM = 6, C/Y = 12, CPT EFF → 6,1678

Voir le taux d’escompte et le taux nominal dans le lexique.

1. TRI cherche le taux r tel que :−1 000 + 300 / (1 + r) + 400 / (1 + r)² + 500 / (1 + r)³ = 0
2. Par essais successifs, ou avec la fonction :r ≈ 8,90 %

1. La tranche couvre de a = 2 à b = 4 M€.∫₂⁴ x⁻² dx = 1/2 − 1/4 = 0,25 M€ par sinistre
2. Coût annuel :3 × 0,25 = 0,75 M€

Rapporté à la portée de 2 M€, cela donne un rate on line pur de 37,5 %, avant tout chargement.

1. Pour une loi normale, ES_α = σ × φ(z_α) / (1 − α), avec z_97,5 % = 1,96 et φ(1,96) = 0,0584.
2. ES :0,1 M€ × 0,0584 / 0,025 = 0,234 M€

L’expected shortfall à 97,5 % est proche de la VaR à 99 % : c’est pourquoi les régulateurs bancaires l’ont retenu pour remplacer la VaR.

1. Marge nette :(0,6 % + 0,4 % − 0,25 %) × 10 500 = 78,75 k€
2. Coûts d’acquisition :2,5 % × 10 500 + 80 = 342,5 k€
3. Résultat :78,75 − 342,5 = −263,75 k€C’est le strain.

1. Taux mensuel 0,5 %, 60 mensualités :PMT = 20 000 / a₆₀ à 0,5 % ≈ 386,66
2. Capital restant dû après 12 mensualités, par la méthode prospective, en gardant la mensualité non arrondie :B₁₂ = PMT × a₄₈ à 0,5 % ≈ 16 463,94
3. Intérêts de la 13e mensualité :0,005 × 16 463,94 ≈ 82,32, réponse A
4. À la BA II Plus : touche AMORT, P1 = 13, P2 = 13, puis lire INT.

1. Mise à jour de la variance :σ_t² = λ σ_t−1² + (1 − λ) r_t−1² = 0,94 × 0,000225 + 0,06 × 0,0009 = 0,0002655
2. Volatilité :√0,0002655 = 1,63 %

1. On actualise chaque résultat à 5 % :−300/1,05 + 120/1,05² + 130/1,05³ + 140/1,05⁴ + 150/1,05⁵
2. Soit :−285,71 + 108,84 + 112,30 + 115,18 + 117,53 = 168,14 k€

1. Valeur actuelle d’une perpétuité de premier paiement P, en fin d’année, croissant au taux g, avec i > g :VA = P / (i − g)
2. Application :100 / (0,07 − 0,03) = 2 500, réponse C

La formule n’a de sens que si i > g : sinon, la somme des paiements actualisés diverge.

1. Une mesure cohérente est monotone, sous-additive, homogène et invariante par translation.
2. La VaR n’est pas toujours sous-additive : diversifier peut, en théorie, l’augmenter. L’écart-type et la variance ne sont pas monotones. L’expected shortfall vérifie les quatre propriétés.

1. Valeur actuelle probable de deux primes de 1 € :ä = 1 + p₆₀ / 1,02 = 1 + 0,99 / 1,02 ≈ 1,9706
2. Équivalence actuarielle, primes et prestations ont la même valeur :P = 2 037,68 / 1,9706 ≈ 1 034,05 €

1. Prix d’achat :P = 80 × a₁₀ + 1 000 × v¹⁰ à 6 % ≈ 1 147,20
2. Juste après le 4^e coupon, il reste 6 coupons et le remboursement. La valeur comptable est la valeur actuelle de ces flux, au taux de rendement d’origine :80 × a₆ + 1 000 × v⁶ à 6 % ≈ 1 098,35, réponse C
3. À la BA II Plus :N = 6, I/Y = 6, PMT = 80, FV = 1 000, CPT PV → −1 098,35

À chaque coupon, une partie amortit la prime : 80 − 6 % × 1 098,35 ≈ 14,10 au 5^e coupon. L’amortissement croît d’année en année.

1. Probabilité d’être signalée, par la formule des probabilités totales :P(A) = 0,04 × 0,9 + 0,96 × 0,1 = 0,036 + 0,096 = 0,132
2. Formule de Bayes :P(D | A) = 0,036 / 0,132 ≈ 0,273, réponse B

Le modèle repère 90 % des défauts, et pourtant près de trois alertes sur quatre sont fausses : les défauts sont rares, donc les fausses alertes sur les entreprises saines pèsent lourd.

1. Engagement restant de l’assureur, une année de couverture :100 000 × q₆₁ / 1,02 = 100 000 × 0,011111 / 1,02 ≈ 1 089,32 €
2. Engagement restant de l’assuré, la prime payée tout de suite :1 034,05 €
3. Provision prospective :1 089,32 − 1 034,05 ≈ 55,27 €

La provision est faible mais positive : la première prime a un peu surpayé le risque de la première année, plus faible que celui de la seconde.

1. Rente croissante à terme échu :(Ia)₁₀ = (ä₁₀ − 10 v¹⁰) / i
2. À 5 % :ä₁₀ ≈ 8,1078 10 v¹⁰ ≈ 6,1391 (Ia)₁₀ ≈ (8,1078 − 6,1391) / 0,05 ≈ 39,3738
3. Valeur actuelle :100 × 39,3738 ≈ 3 937,38, réponse A
4. À la BA II Plus, avec la touche CF : CF0 = 0, puis C01 = 100, C02 = 200, …, C10 = 1 000, et NPV avec I = 5.

1. Statistique de test :t = (β̂ − 1) / SE(β̂) = (1,20 − 1) / 0,15 = 1,33
2. Avec 58 degrés de liberté, la valeur critique bilatérale à 5 % vaut environ 2,00 : on ne rejette pas l’hypothèse β = 1.

1. Chaque versement est pondéré par la probabilité d’être en vie à sa date, puis actualisé :1 000 × (₃E₆₀ + ₄E₆₀ + ₅E₆₀)
2. 1 000 × (87 020 / 1,02³ + 85 830 / 1,02⁴ + 84 520 / 1,02⁵) / 90 000 ≈ 2 642,74 €

C’est une rente viagère payable d’avance, différée de 3 ans et temporaire de 3 ans. Voir le capital différé et la rente viagère dans le lexique.

1. Solde au début de chaque mois :12 000, 11 000, …, 1 000
2. Intérêts totaux :1 % × (12 000 + 11 000 + … + 1 000) = 1 % × 78 000 = 780, réponse C

Avec un amortissement constant, les mensualités baissent : 1 120 le premier mois, 1 010 le dernier.

1. Variance du portefeuille :σ_P² = w_A² σ_A² + w_B² σ_B² + 2 w_A w_B ρ σ_A σ_B= 0,0144 + 0,0016 + 0,00288 = 0,01888
2. Volatilité :√0,01888 = 13,74 %

Avec une corrélation inférieure à 1, le portefeuille est moins volatil que la moyenne de ses composantes : c’est tout l’intérêt de la diversification.

1. Garantie décès, temporaire de deux ans :(900 / 1,02 + 990 / 1,02²) / 90 000 ≈ 0,020377
2. Capital en cas de vie à 62 ans :88 110 / 90 000 / 1,02² ≈ 0,940984
3. Prime unique :10 000 × (0,020377 + 0,940984) ≈ 9 613,61 €

Une assurance mixte paie à coup sûr, en cas de vie comme de décès : sa prime est proche de la valeur actuelle du capital, 10 000 / 1,02² ≈ 9 611,69 €.

1. Avec une force d’intérêt variable, le facteur d’accumulation vaut :a(4) = exp(∫₀⁴ 0,01t dt) = exp(0,01 × 4² / 2) = e^0,08
2. Valeur acquise :1 000 × e^0,08 ≈ 1 083,29, réponse C

Voir la force d’intérêt dans le lexique.

1. Parité des taux d’intérêt couverte, avec un cours exprimé en dollars par euro :F = S × e^{(r_USD − r_EUR) T}
2. Ici :1,10 × e^0,02 = 1,10 × 1,0202 = 1,1222

Sinon, il y aurait un arbitrage : emprunter dans une devise, placer dans l’autre et fixer le change à terme rapporterait un gain sans risque.

1. Équation de valeur, avec v = 1 / (1 + i) :1 000 = 300 v + 800 v²
2. Racine positive de 800 v² + 300 v − 1 000 = 0 :v = (−300 + √(300² + 4 × 800 × 1 000)) / 1 600 ≈ 0,94615
3. Taux de rendement :i = 1 / 0,94615 − 1 ≈ 5,69 %, réponse C
4. À la BA II Plus :CF0 = −1 000, C01 = 300, C02 = 800, IRR CPT → 5,69

1. Perte du jour :(4 000 − 3 920) × 50 × 10 = 40 000 dollars
2. Solde du compte de marge :150 000 − 40 000 = 110 000 < 120 000
3. Le trader doit revenir à la marge initiale :150 000 − 110 000 = 40 000 dollars

1. Chaque flux s’actualise au taux au comptant de son échéance :P = 5 / 1,03 + 5 / 1,04² + 105 / 1,045³
2. P ≈ 4,8544 + 4,6228 + 92,0112 ≈ 101,49, réponse B

Au passage, le taux à terme entre 2 et 3 ans vaut 1,045³ / 1,04² − 1 ≈ 5,51 %.

1. Approximation au second ordre :ΔP/P ≈ −D_mod × Δy + ½ × C × Δy²
2. Ici :−7,2 × 0,01 + 0,5 × 64 × 0,0001 = −0,072 + 0,0032 = −6,88 %

1. Paiement : min(X, 600). Son espérance est l’intégrale de la fonction de survie jusqu’au plafond :∫₀⁶⁰⁰ (1 − x / 1 000) dx = 600 − 600² / 2 000 = 420
2. Vérification : 60 % des pertes sont sous 600, en moyenne 300 ; 40 % sont plafonnées à 600.0,6 × 300 + 0,4 × 600 = 420, réponse C

1. Nombre de scénarios dans la queue :1 % × 1 000 = 10
2. Expected shortfall :(12,4 + 11,0 + 9,8 + 9,1 + 8,7 + 8,2 + 7,9 + 7,5 + 7,3 + 7,0) / 10 = 88,9 / 10 = 8,89 M$

1. Variance totale d’une somme aléatoire :Var(S) = E[N] Var(X) + Var(N) E[X]²
2. Pour une loi de Poisson, Var(N) = E[N] = 2 :2 × 200² + 2 × 500² = 80 000 + 500 000 = 580 000, réponse D

Voir le modèle collectif dans le lexique.

1. Coût de liquidation :½ × fourchette × position = 0,5 × 0,4 % × 10 = 0,02 M$
2. VaR ajustée de la liquidité :0,5 + 0,02 = 0,52 M$

1. Le minimum de deux exponentielles indépendantes est exponentiel, de taux la somme des taux :λ = 1/2 + 1/3 = 5/6
2. Moyenne :1 / λ = 6/5 = 1,2 an, réponse B

1. La CVA somme, année par année, la perte attendue sur la contrepartie :CVA = LGD × Σ EE_i × PD_i
2. Ici :0,6 × 3 × (10 × 0,02) = 0,36 M$

1. Le coupon, 6 %, dépasse le rendement visé, 5 % : l’obligation cote au-dessus du pair, et chaque remboursement anticipé fait perdre à l’investisseur une partie de la prime.
2. Prix à chaque date de remboursement possible :5 ans : 1 043,29 6 ans : 1 050,76 … 10 ans : 1 077,22
3. Pour être garanti, l’investisseur paie le plus petit de ces prix :60 × a₅ + 1 000 × v⁵ à 5 % ≈ 1 043,29, réponse B

Règle pratique : au-dessus du pair, la date la plus proche est la plus défavorable ; sous le pair, c’est la plus lointaine. Dans tous les cas, on retient le prix le plus bas.

1. Première tranche, jusqu’à 1 Md€ :12 % × 1 000 = 120 M€
2. Deuxième tranche, de 1 à 4 Md€ :15 % × 3 000 = 450 M€
3. Total :120 + 450 = 570 M€

Le capital opérationnel s’obtient ensuite en multipliant le BIC par un facteur qui dépend des pertes historiques de la banque.

1. Valeur actuelle du passif :10 000 / 1,06⁴ ≈ 7 920,94
2. On égalise valeurs actuelles et durations. Avec A et B, les montants investis à 2 et à 6 ans :A + B = 7 920,94 et (2A + 6B) / 7 920,94 = 4
3. D’où A = B ≈ 3 960,47. Nominal du zéro-coupon à 6 ans :3 960,47 × 1,06⁶ ≈ 5 618,00, réponse D

Vérification : à 5 % comme à 7 %, l’actif vaut un peu plus que le passif. Un flux d’actif avant le passif, un après, avec valeurs actuelles et durations égales : c’est l’immunisation complète. Voir la leçon sur la duration.

1. Loi fondamentale de la gestion active (Grinold) :IR = IC × √BR
2. Ici :0,05 × √400 = 0,05 × 20 = 1,0

Un faible talent de prévision suffit, à condition de l’appliquer à beaucoup de paris vraiment indépendants.

1. Distance au défaut :DD = [ln(V/D) + (μ − σ²/2) T] / (σ √T)
2. Ici :[ln(100/80) + 0,06 − 0,03125] / 0,25 = (0,2231 + 0,0288) / 0,25 = 1,01

La probabilité de défaut réelle vaut N(−1,01) ≈ 15,7 %. Sous la probabilité risque-neutre, on remplacerait μ par le taux sans risque.

1. Formule de Vasicek :WCDR = N[(N⁻¹(PD) + √ρ × N⁻¹(X)) / √(1 − ρ)]
2. Ici :(−2,3263 + 0,3464 × 3,0902) / 0,9381 = −1,2559 / 0,9381 = −1,3388
3. Taux de défaut :N(−1,3388) = 9,03 %

C’est la formule du capital de crédit des banques sous Bâle, avec une corrélation qui dépend du type de prêt.